Matemática divertida y útil para todos

La curva misteriosa de Hilbert

Muchos consideran a las matemáticas como algo aburrido o atemorizante. Pero esto sucede con todo lo que el humano halla lejano y desconocido. Nos enseñan en la escolaridad básica algunas cosas, pero nada del secreto y maravilloso mundo de los números. La historia de Hilbert muestra que hablar el lenguaje de los números es tener la llave para entender el mundo y dominar problemas que otros consideran imposibles de resolver.

Como bien dice Julian Havil en su libro “Curvas para los curiosos de las matemáticas”, toda curva que tiene un nombre también tiene una historia que contar. Esta historia comienza con un matemático llamado Georg Cantor, nacido en 1845, que descubre defectos en la matemática de su época. A tal punto fue el escándalo que produjo su hallazgo que tuvo que crearse una rama entera de la matemática denominada «teoría de la dimensión topológica» para explicar cómo es posible que una simple línea finita tenga la misma superficie que un cuadrado. Algunos escalones para llegar a resolver el misterio los construyeron los matemáticos Dedeking. Brouwer y Peano, pero sería D. Hilbert quien en 1891 quien idea un truco maravilloso para explicar la aparente paradoja…nace así la famosa curva que lleva su nombre.

Variantes de curvas de Hilbert

La idea, como todo lo genial, es bastante simple: si la recta de puntos fuera un alambre, bastaría con retorcerlo sobre sí mismo suficientemente bien y las veces necesarias hasta convertirlo en un cuadrado. Para poder hacer su demostración, el brillante matemático alemán ideó una función que imitaría la secuencia de los pliegues. Esa función recibiría luego su nombre.
Pero la historia no queda ahí. La curva de Hilbert fue muy estudiada y mostró tener muchas propiedades interesantes. Entre otras, tiene un comportamiento que ayuda a los informáticos para asignar las direcciones IP que son los DNI de las computadoras que se conectan al internet. También es útil para convertir fotos de color a escalas de grises sin perder detalles, mejorar el funcionamiento de algunos lenguajes de programación, etc.
No es menos interesante su comportamiento fractal. Si cortamos un cuadrado de la curva y lo colocamos en un microscopio, lograremos ver otra vez la curva de Hilbert (ver la figura). Esta propiedad la ubica también en una familia de fractales que hoy en día se usan para poder representar en una pantalla dibujos realistas, explicar la disposición de las ramas de un árbol, o la organización de árboles en un bosque.
Hilbert, igual que otros estudiosos de las diferentes especialidades matemáticas, nos muestra que nuestro mundo es explicable desde las matemáticas tanto como con la poesía, la pintura o la filosofía.

Daniela López De Luise

Academia Nacional de Ciencias de Buenos Aires

Académica coordinadora CETI